Új módszer a hiányzó páros összehasonlítások becslésére
Többszempontú döntési problémák megoldása során gyakran használnak páros összehasonlítás mátrixokat. Mivel a szükséges kérdések száma az alternatívák számának négyzetes függvénye, így sokszor nincs lehetőség minden páros összehasonlítás összegyűjtésére, a hiányzó értékeket az ismertek alapján kell meghatározni. Csató László, a Mérnöki és Üzleti Intelligencia Kutatólaboratórium Operációkutatás és Döntési Rendszerek Kutatócsoport tudományos munkatársa – szerzőtársával, Ágoston Kolos Csabával (Budapesti Corvinus Egyetem) közösen – egy új módszert adott az ismeretlen elemek kitöltésére. Az eredményeket összegző, szabadon hozzáférhető cikk egy vezető operációkutatási folyóirat, a European Journal of Operational Research hasábjain jelent meg, „A lexicographically optimal completion for pairwise comparison matrices with missing entries” címmel.
Egy (multiplikatív) páros összehasonlítás mátrix i-edik sorának j-edik eleme a „Hányszor jobb / Mennyivel fontosabb az i-edik alternatíva a j-ediknél?” kérdésre adott numerikus választ tartalmazza. Ez minden alkalommal csupán két alternatíva összehasonlítását igényli a döntéshozótól, ami jelentős mértékben megkönnyíti preferenciáinak lekérdezését.
Ennek során viszont legalább két kihívással szembesülünk. Egyrészt, a közvetlen és közvetett, más alternatívákon keresztül történő összehasonlítások eredménye jellemzően különbözik: ha például az A alternatíva kétszer jobb B-nél, B pedig háromszor jobb C-nél, akkor A nem feltétlenül lesz hatszor jobb C-nél. A páros összehasonlítások tehát inkonzisztensek lehetnek, melynek mértéke különböző inkonzisztencia indexekkel számszerűsíthető. Másrészt, a páros összehasonlítások száma az alternatívák számának négyzetes függvénye: három alternatíva esetén három, négynél hat, ötnél 10, nyolcnál viszont már 28 páros összehasonlítás elvégzése szükséges. Ezért egyre gyakoribb a nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok alkalmazása. Ilyen esetekben a hiányzó értékeket a meglevők alapján becsülik meg, jellemzően az inkonzisztencia szintjének minimalizálásával.
A javasolt módszer
Az inkonzisztencia számszerűsítésére az irodalomban számos különböző mérőszámot javasoltak. Azonban ezek szinte mindegyike – tulajdonképpen az összes „jól viselkedő” inkonzisztencia index – azonos rendezést ad az alternatívahármasok (triádok) halmazán. Hiszen, korábbi példánkhoz visszatérve, világos, ha az A és B alternatívák összehasonlításának eredménye 2, B és C összehasonlításának eredménye 3, valamint A és C összehasonlítása x, akkor e három alternatívára fókuszálva x = 6 esetén kapjuk a minimális inkonzisztenciát, ez az egyetlen konzisztens kitöltés. Amennyiben x különbözik 6-tól, a triád inkonzisztens, az inkonzisztencia szintje pedig x és 6, azaz két nem negatív szám hányadosától függ.
Az új kitöltési módszert ebből az összefüggésből kiindulva alkottuk meg. Vegyük a páros összehasonlítás mátrix összes triádját, rendezzük őket inkonzisztenciáik szerint csökkenő sorrendbe, és lexikografikusan minimalizáljuk az így kapott vektort: először minimálisra csökkentjük a leginkább inkonzisztens triád inkonzisztenciáját, majd a másodikét, és így tovább. Végül eljutunk ahhoz az optimálisan kitöltött páros összehasonlítás mátrixhoz, melynek triádjai lexikografikus értelemben a lehető legkevésbé inkonzisztensek.
A fő eredmények
Az ötlet ugyan kézenfekvő, de ebből még nem következik, hogy valóban értelmes eljárást kapunk a hiányzó páros összehasonlítások meghatározására. Elsőként bizonyítottuk, hogy a módszer által adott kitöltés akkor és csak akkor egyértelmű, ha két tetszőleges választott alternatíva legalább más alternatívákon keresztül, közvetve összehasonlítható. A tétel nem meglepő, más kitöltési módszereknél is jellemzően ez az egyértelműség szükséges és elégséges feltétele. Másodszor megmutattuk, hogy az egyértelmű kitöltés egymást követő lineáris programozási (LP) feladatok megoldásával, azaz gyorsan és hatékonyan számítható. Végül a javasolt eljárást szimulációs technikák segítségével összehasonlítottuk egy népszerű kitöltési módszerrel.
A tanulmány egyik szerzője, Csató László által nemrég publikált állítás (lásd itt) szerint a javasolt lexikografikusan optimális kitöltés egy olyan, kedvező elméleti tulajdonságot is teljesít, mellyel a két legnépszerűbb alternatív kitöltési módszer nem rendelkezik. Ez reményeink szerint hozzájárulhat az új eljárás elterjedéséhez a páros összehasonlítás mátrixok alkalmazásaiban.
